Tutorial über Gleitkomma-Zahlen, Exponent und Mantisse

Die Dezimalzahl +65,2371 in eine Gleitkommazahl nach IEEE in eine 4 Byte (32 Bit) 
Short Real Zahl um zuwandeln, in Hexadezimalzahl = 42827965.

Schritt 1:
Indem wir die 65 vor den Komma durch 16 teilen
 65 / 16 =  4     		das ergibt wie wir sehen 4 und die 1 bleibt über. Rest = 1.
-64
    1

Jetzt teilen wir die 4 durch 16
 4 / 16 = 0                              das ergibt 0 und Rest =  4
.
 

Jetzt die Rest-Zahlen von Unten nach Oben  hinter einander fügen und wir haben Hex.  41

Binare =   0100 0001     <-- Merken!

Schritt 2:
Die 0,2371 nehmen wir mit 16 mal

0,2371 * 16 
          2371
          14226
=        3,7936             das ergibt 3,7936 von der wir uns die 3 merken und die 0,7936 
                                   wieder mit  16 mal nehmen      

0,7936 * 16
         7936
         47616
=     12,6976	   hier nun wie der die 12 merken und den Nachkommateil wieder mit 16 
                                   mal nehmen

0, 6976 * 16
  zur einfach 
          halber
=     11,1616             hier die 11 merken  den Rest wieder mit 16 mal nehmen

0, 1616 * 16
        ...........
        ...........    
=      2,5856            hier die 2 merken Rest mit 16 mal nehmen


0,5856 * 16

      .............
=     9,3696            hier  die 9 merken.  

Da man nicht mehr Bits unterbringen kann, können wir hier mit dem malnehmen aufhören.
Jetzt nehmen wir die Zahlen diesmal aber von Oben nach Unten zu einer Hexadezimalzahl 
zusammen.
			  3      12       11      2        9
Das ergibt  3CB29  Binare =  0011  1100  1011  0010  1001


Jetzt müssen wir die beiden Binare-Zahlen in das unten gezeigte Format bringen.

Als Erstes, da es eine positive Zahl ist, muss das erste Bit eine 0 sein, bei einer negativen Zahl
wäre das erste Bit links eine 1. Das Erste Bit links wird dazu verwendet um anzugeben, ob es
sich um eine positive- oder um eine negative Zahl handelt.
Die nächsten 8 Bit werden dazu verwenden um anzugeben um wie viel Stellen das Komma
verschoben werden muss.
Also in unseren Fall:
Nehmen wir 127 + 6  = 133
Wie komme wir darauf? Ganz einfach: die 127 ist ein gegebener Wert Bias genannt , und die 6 erhalten wir
von der Binare-Zahl   0100 0001 , wir erinnern uns oben die Hex. 41 aus der Dez. 65 vor den Komma.
Abzüglich des Hidden Bit bleiben noch 6 Stellen vor den Komma.
Hinweis: bei Vorkommastellen 127 plus Anzahl der Stellen. Bei Zahlen ohne einen Wert vor den Komma minus.
Siehe Beispiel unten.  
Von der ersten 1 ausgehend zählen wir die Zahlen und erhalten 6, an diese Stelle sitzt das Komma. 
Danach kommen die Nachkommastellen, was auch den Begriff Gleitkommazahl erklärt.
Wir tragen unsere 133,  Binare = 1000 0101 in den Bereich ein, der Exponent genannt wird 
und hier in dieser Farbe dargestellt wird ein.
Als nächste müssen wir die Hex. 41 anfügen, Binare = 0100 0001.

Da am Anfang immer eine 1 stehen muss, wird die 1 weggelassen. Man spricht hier vom versteckten Bit 
oder Hidden Bit. Dadurch haben wir jetzt diese Bits in der Mantisse am Anfang stehen = 000  001. 
Die Mantisse so nennt man den dritten Bereich für die Gleitkommadarstellung. Siehe unten.
Jetzt noch die Nachkommastellen anfügen und fertig. Binare =  0011  1100  1011  0010  1001 in Hex. = 3CB29

Wie wir sehen können wird von der Hexadezimalzahl die letzten Zahl die 9,
nur das höchste Bit dargestellt. Was erklärt warum ab einer gewissen Größe der Zahl 
eine Ungenauigkeit auf tritt. 

Nun das Ganze Rückwärts.
Schritt 1:
Die 8 Bit aus den Exponenten lesen ergibt 1000 0101 = 133 das minus 127  gleich 6.
133 - 127 = 6
Die angegebenen 6 stellen für die Zahl vor den Komma aus der Mantisse lesen 00 0001
Das versteckte Bit (Hidden Bit) davor setzen, ergibt 0100 0001 = 41 Hex.  
Jetzt die 4 mit 16 mal nehmen plus die 1 = 65.
4 * 16 = 64         64 + 1 = 65     Damit haben wir schon wieder unsere Vorkommazahl.

Schritt 2:
Die Bits nach der 6 Stelle aus der Mantisse auslesen für den Nachkomma-Teil 
0011 1100 1011 0010 1000 = 3CB28.
Nun die letzte Zahl die 8 durch 16 teilen. Dann das Ergebnis plus der vorletzten Zahl der 2
und wieder durch 16 teilen. Dann das Ergebnis mit der nächsten Zahl zusammen rechnen, die 11
und wieder durch 16 teilen usw. in Rückwärtiger Reihenfolge vor gehen!

Hinweis 4 Stellen hintern Komma reichen beim teilen aus!

Jetzt noch die 65 + 0,23709375 = 65,23709375  wie wir sehen können weicht der Wert
etwas von unseren Ursprung Wert ab, der 65,2371. Was normal ist um einen höhere Genauigkeit
Zu bekommen sollte man den Real = 64 Bit Typ oder Extended = 80 Bit  verwenden.

Hier noch ein Beispiel:
Jetzt die 1245,27 in die 449BA8A3

  1245 / 16 = 77 Rest = 13 = D 
   112
   125
  -112
    13
   

 77 / 16 = Rest = 13 = D
  -64
      13

 4 / 16 = 0 Rest = 4
  

Jetzt von hinten nach vor lesen =  4DD Hex. Binare  0100 1101 1101

Nun die Nachkommastellen 
0,27 * 16    =  4,32     4 Merken

0,32 * 16    =  5,12     5 Merken

0,12 * 16   =  1,92     1 Merken

0,92 * 16   =  14,72   D Merken

Bei Nachkommastellen von Vorne nach hinten lesen also umgekehrt wie bei den Vorkommastellen!
Das ergibt dann 451D Hex. Binare = 0100 0101 0001 1101

Jetzt noch die noch die Stellen nach der Ersten 1 von der Vorkommazahl zählen und zu 127 addieren.
127 + 10 = 137  Binare  = 1000 1001  da haben wir unseren Exponenten.
Die Vorkommazahl  4DD Hex. Binare  0100 1101 1101 miuns Hidden Bit =  001101 1101
Nachkomma-Bits einfügen fertig.

Nun das Ganze Rückwärts.
Schritt 1:
Die 10 Bit aus den Exponenten lesen ergibt 1000 0101 = 137 das minus 127  gleich 10.
137 - 127 = 10

Und zur besseren Veranschaulichung nur noch einmal die Vorkommastellen!
011 1011 101 plus Hidden Bit = 0100 1101 1101 = 4DD Hex. In  1245 Dez

Hier noch ein Beispiel mit 0 am Anfang: 
Die 0,025 in die  3C CC CC CC Hex.

    0      6       6       6       6       6       6       6
 0000 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110
Das Hiden Bit abziehen, die Mantisse ergibt dann = 10 0110 0110 0110 0110 0110 0110. 

Wie Oben schon erwähnt müssen wir bei Zahlen ohne Vorkommastellen 127 – n Rechnen.
Der Exponenten berechnet sich dann so 127 – 6 = 121 = Binare 0111 1001

Man kann noch Anmerken bei 64 Bit, ist der Exponent = 11 Bit und die Mantisse = 52 Bit Gross.
Der Bias ist 1023. 

Ok das wars ich hoffe ich konnte Helfen.